蓝桥杯：2025 省赛填空题｜连锁旅馆排列约束问题解题全过程

这个题目刚看到的时候我是感觉比较吓人的，更像是一道数学推理题，然后需要我们根据题目条件进行推理，我们要想着它题目数值那么大，肯定是存在套路的。
$n=2025$，$A$ 是 $1\sim 2025$ 的排列；
对任意 $i,j$，满足
$A_i{A}_j\le i\cdot j+2025$
代入 $i=j$，得到单位置必要条件
$A_i^2\le i^2+2025$
当 $i>1012$，也就是 $i\ge 1013$，$(i+1{)}^2>i^2+2025$，因此 $A_i$ 不能大于 i。
推导结论
当 $i\ge 1013$，必须 $A_i=i$，无交换余地。
$1\sim 1012$：每一对可以选择原地不动，或者交换 $(k,k+1)$，共 1012 个独立二元选择。
总方案数：
$\text{ans}=2^{1012}(\mathrm{mod}10^9+7)$
这个题目的推导过程我也是思考了好久才明白的，可能这样子理解就会简单点，$$f(x)=\sqrt{x^2+2025}$$，这是一个单调递增的函数。当 $x$ 在增大的过程中，常数 $2025$ 的影响会变小，函数最终趋近于
$$f(x)=x$$

C++代码

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;
int main()
{
LL ret = 1;
for(int i = 1; i <= 1012; i++)
{
ret = ret * 2 % mod;
}
cout << ret << endl;
return 0;
}