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本专栏入口: 1. 供应链与制造系统：规划篇 导论
库存管理核心模型公式汇总表
库存管理的各类核心模型（随机提前期、循环调度、交叉转运等）均围绕“成本优化”“服务水平保障”“风险管控”三大目标构建，其核心逻辑通过量化公式落地。以下汇总所有关键公式，按模型分类整理，含参数定义、公式用途及应用场景说明，方便快速查询与实际应用。
| 1. 随机提前期库存模型 | 提前期内需求期望值 |
E [ d ( L ) ] = μ × L ˉ E[d(L)] = \\mu \\times \\bar{L} E[d(L)]=μ×Lˉ |
μ \\mu μ：单位时间需求均值； L ˉ \\bar{L} Lˉ：提前期期望值 |
计算提前期内的平均需求总量，是确定再订货点的基础 | 连续盘点（QR模型）、定期盘点模型中，作为库存补货的核心参考依据 |
| 提前期内需求方差 |
V a r [ d ( L ) ] = μ 2 × σ L 2 + L ˉ × σ d 2 Var[d(L)] = \\mu^2 \\times \\sigma_L^2 + \\bar{L} \\times \\sigma_d^2 Var[d(L)]=μ2×σL2+Lˉ×σd2 |
σ L 2 \\sigma_L^2 σL2：提前期方差； σ d 2 \\sigma_d^2 σd2：单位时间需求方差 |
量化“需求波动+提前期波动”的双重影响，核心突破点在于拆分两类波动对总需求的贡献 | 随机提前期场景下，精准计算安全库存的关键前提 | |
| 提前期内需求标准差 |
σ d ( L ) = μ 2 × σ L 2 + L ˉ × σ d 2 \\sigma_{d(L)} = \\sqrt{\\mu^2 \\times \\sigma_L^2 + \\bar{L} \\times \\sigma_d^2} σd(L)=μ2×σL2+Lˉ×σd2 |
同上述参数 | 需求波动的直观量化指标，用于安全库存与再订货点计算 | 所有随机提前期库存决策，如再订货点设定、安全库存规划 | |
| 经济订货量（EOQ） |
E O Q = 2 × K × μ h EOQ = \\sqrt{\\frac{2 \\times K \\times \\mu}{h}} EOQ=h2×K×μ |
K K K：单次订货成本； h h h：单位库存持有成本（单位时间） |
平衡订货成本与持有成本，确定最优单次订货量，与提前期随机性无关 | 连续盘点模型中，固定订货量的确定 | |
| 缺货率条件 |
P ( d ( L ) > R ) = h × Q μ × π P(d(L) > R) = \\frac{h \\times Q}{\\mu \\times \\pi} P(d(L)>R)=μ×πh×Q |
R R R：再订货点； Q Q Q：订货量； π \\pi π：单位缺货成本 |
明确目标缺货率，为安全系数
Z Z Z的选择提供依据 |
基于成本权衡确定服务水平，如“允许4.5%缺货率”对应
Z = 1.70 Z=1.70 Z=1.70 |
|
| 再订货点 |
R = μ × L ˉ + Z × σ d ( L ) R = \\mu \\times \\bar{L} + Z \\times \\sigma_{d(L)} R=μ×Lˉ+Z×σd(L) |
Z Z Z：安全系数（由目标缺货率决定） |
确保提前期内需求得到覆盖，公式=提前期期望需求+安全库存 | 连续盘点（QR模型）中，触发补货的库存阈值设定 | |
| 安全库存 |
S S = Z × σ d ( L ) SS = Z \\times \\sigma_{d(L)} SS=Z×σd(L) |
同上述参数 | 应对提前期与需求的双重波动，
Z Z Z值越大，服务水平越高 |
随机提前期场景下，避免缺货的缓冲库存规划 | |
| 2. 循环调度库存模型 | 调整后单位持有成本 |
h ^ i = h i × λ i − μ i λ i \\hat{h}_i = h_i \\times \\frac{\\lambda_i – \\mu_i}{\\lambda_i} h^i=hi×λiλi−μi |
h i h_i hi：模式 i i i原始持有成本； λ i \\lambda_i λi：模式 i i i生产速率； μ i \\mu_i μi：模式 i i i需求速率 |
修正有限生产速率的库存累积差异（生产期库存非瞬间堆满），贴合实际库存水平 | 多模式生产（如粗轧/精轧），有限生产速率下的持有成本计算 |
| 每周准备成本 |
准备成本 = ∑ i = 1 n K i T \\text{准备成本} = \\frac{\\sum_{i=1}^{n} K_i}{T} 准备成本=T∑i=1nKi |
K i K_i Ki：模式 i i i单次切换成本； T T T：循环周期； n n n：生产模式数量 |
计算单位时间内的模式切换总成本，与循环周期成反比 | 循环调度中，平衡切换成本与持有成本的核心组件 | |
| 每周库存持有成本 |
持有成本 = 1 2 × ∑ i = 1 n ( h ^ i × μ i × T ) \\text{持有成本} = \\frac{1}{2} \\times \\sum_{i=1}^{n} (\\hat{h}_i \\times \\mu_i \\times T) 持有成本=21×∑i=1n(h^i×μi×T) |
同上述参数 | 计算单位时间内的中间库存持有总成本，与循环周期成正比 | 多模式生产的中间库存成本核算 | |
| 每周总成本（目标函数） |
T C ( T ) = ∑ i = 1 n K i T + 1 2 × ( ∑ i = 1 n h ^ i × μ i ) × T TC(T) = \\frac{\\sum_{i=1}^{n} K_i}{T} + \\frac{1}{2} \\times (\\sum_{i=1}^{n} \\hat{h}_i \\times \\mu_i) \\times T TC(T)=T∑i=1nKi+21×(∑i=1nh^i×μi)×T |
同上述参数 | 整合切换成本与持有成本，需最小化总成本 | 循环调度的核心目标函数，用于求解最优循环周期 | |
| 最优循环周期 |
T ∗ = 2 × ∑ i = 1 n K i ∑ i = 1 n ( h ^ i × μ i ) T^* = \\sqrt{\\frac{2 \\times \\sum_{i=1}^{n} K_i}{\\sum_{i=1}^{n} (\\hat{h}_i \\times \\mu_i)}} T∗=∑i=1n(h^i×μi)2×∑i=1nKi |
同上述参数 | 令总成本导数为0得到的最优解，体现“切换成本与持有成本边际平衡” | 多模式生产的周期决策，如“粗轧→精轧”的循环时长设定 | |
| 3. 交叉转运库存模型 | 周期库存（单DC） |
C S i = μ i × r 2 CS_i = \\frac{\\mu_i \\times r}{2} CSi=2μi×r |
μ i \\mu_i μi：DC i i i需求速率； r r r：补货周期 |
计算单个分销中心的平均周期库存，与转运模式无关 | 多分销中心的周期库存规划，交叉转运与直接发运模式通用 |
| 总周期库存 |
C S 总 = ∑ i = 1 n C S i CS_{\\text{总}} = \\sum_{i=1}^{n} CS_i CS总=∑i=1nCSi |
n n n：分销中心数量 |
汇总所有分销中心的周期库存，反映系统周期库存总量 | 多分销中心库存总量核算 | |
| 在途库存（单DC） |
P S i = μ i × ( L 1 + L 2 ) PS_i = \\mu_i \\times (L_1 + L_2) PSi=μi×(L1+L2) |
L 1 L_1 L1：共同提前期（供应商→交叉转运中心）； L 2 L_2 L2：独立提前期（交叉转运中心→DC） |
计算单个分销中心的在途库存，与总提前期成正比 | 多分销中心在途库存管理，交叉转运与直接发运模式通用 | |
| 总在途库存 |
P S 总 = ∑ i = 1 n P S i PS_{\\text{总}} = \\sum_{i=1}^{n} PS_i PS总=∑i=1nPSi |
同上述参数 | 汇总所有分销中心的在途库存，反映供应链在途资金占用 | 多分销中心供应链资金占用评估 | |
| 安全库存（交叉转运模式） |
S S i = Z × σ i × r + L 1 n + L 2 SS_i = Z \\times \\sigma_i \\times \\sqrt{r + \\frac{L_1}{n} + L_2} SSi=Z×σi×r+nL1+L2 |
σ i \\sigma_i σi：DC i i i需求标准差； Z Z Z：安全系数 |
核心优化公式，通过
L 1 n \\frac{L_1}{n} nL1分摊共同提前期风险，降低安全库存 |
交叉转运模式下，单个分销中心的安全库存规划，体现风险汇聚效应 | |
| 总安全库存（交叉转运模式） |
S S 总 = ∑ i = 1 n S S i SS_{\\text{总}} = \\sum_{i=1}^{n} SS_i SS总=∑i=1nSSi |
同上述参数 | 汇总交叉转运模式下的系统安全库存，与直接发运模式对比体现优化效果 | 交叉转运模式的库存优化效果评估 | |
| 系统总库存 |
T I 总 = C S 总 + S S 总 + P S 总 TI_{\\text{总}} = CS_{\\text{总}} + SS_{\\text{总}} + PS_{\\text{总}} TI总=CS总+SS总+PS总 |
同上述参数 | 反映交叉转运模式下的供应链总库存水平 | 交叉转运与直接发运模式的总库存对比 | |
| 4. 双源采购库存模型 | 总到岸成本（TLC） |
T L C = C p + C t + h × L TLC = C_p + C_t + h \\times L TLC=Cp+Ct+h×L |
C p C_p Cp：单位采购成本； C t C_t Ct：单位运输成本； L L L：总提前期 |
统一供应商比较基准，含采购、运输、在途持有成本 | 两类供应商（低成本慢响应/高成本快响应）的综合成本对比 |
| 基础需求采购量 |
Q 低成本 = α × μ Q_{\\text{低成本}} = \\alpha \\times \\mu Q低成本=α×μ |
α \\alpha α：比例系数（0.75~0.85最优）； μ \\mu μ：周需求均值 |
确定低成本供应商的固定采购量，覆盖基础需求 | 双源采购中，长期订单的数量设定 | |
| 高成本供应商补货量 |
Q 高成本 = S − O H − S O Q_{\\text{高成本}} = S – OH – SO Q高成本=S−OH−SO |
S S S：基库存水平； O H OH OH：在手库存； S O SO SO：在途订单（含低成本供应商长期订单） |
动态调整高成本供应商的补货量，应对波动需求 | 双源采购中，高成本快响应供应商的实时补货决策 | |
| 高成本供应商基库存水平 |
S = μ × ( r + L 高成本 ) + Z × σ × r + L 高成本 S = \\mu \\times (r + L_{\\text{高成本}}) + Z \\times \\sigma \\times \\sqrt{r + L_{\\text{高成本}}} S=μ×(r+L高成本)+Z×σ×r+L高成本 |
L 高成本 L_{\\text{高成本}} L高成本：高成本供应商提前期 |
确定高成本供应商的库存上限，确保波动需求覆盖 | 双源采购中，高成本供应商的库存目标设定 | |
| 5. 提前期缩短改进模型 | 安全库存（通用） |
S S = Z × σ × r + L SS = Z \\times \\sigma \\times \\sqrt{r + L} SS=Z×σ×r+L |
L L L：总提前期（随改进路径变化） |
计算不同提前期下的安全库存，提前期缩短直接降低安全库存 | 提前期优化（如空运直送、加急末端运输）后的安全库存调整 |
| 年库存成本节约 |
Δ C = Δ T I × h \\Delta C = \\Delta TI \\times h ΔC=ΔTI×h |
Δ T I \\Delta TI ΔTI：库存减少量； h h h：单位年持有成本 |
量化提前期缩短带来的经济收益 | 提前期改进方案的成本效益分析 | |
| 盈亏平衡点（增量运输成本） |
p = Δ C 年总需求量 p = \\frac{\\Delta C}{\\text{年总需求量}} p=年总需求量ΔC |
p p p：单位增量运输成本；年总需求量=周需求×52 |
判断提前期改进方案的可行性（
p p p≤盈亏平衡点则可行） |
如空运直送、加急末端运输的经济可行性评估 | |
| 6. 库存目标评估方法 | 科学库存目标 |
I s = r × μ 2 + Z × σ × r + l I_s = \\frac{r \\times \\mu}{2} + Z \\times \\sigma \\times \\sqrt{r + l} Is=2r×μ+Z×σ×r+l |
r r r：补货周期； l l l：提前期；其他参数同前 |
基于科学模型计算的最优库存目标，含周期库存与安全库存 | 经验库存目标的合理性校验 |
| 库存状态差值（delta） |
Δ = I a − I s \\Delta = I_a – I_s Δ=Ia−Is |
I a I_a Ia：现有库存目标； I s I_s Is：科学库存目标 |
判断库存过剩（
Δ > 0 \\Delta>0 Δ>0）或不足（ Δ < 0 \\Delta<0 Δ<0） |
多SKU库存配置合理性快速筛查 | |
| 推算z值（z hat） |
z ^ = I a − r × μ 2 σ × r + l \\hat{z} = \\frac{I_a – \\frac{r \\times \\mu}{2}}{\\sigma \\times \\sqrt{r + l}} z^=σ×r+lIa−2r×μ |
同上述参数 | 从现有库存目标反向推导实际安全系数，反映现有库存的波动覆盖能力 | 现有库存对应的实际服务水平量化 | |
| 推算服务水平 |
α ^ = C D F ( z ^ ) \\hat{\\alpha} = CDF(\\hat{z}) α^=CDF(z^) |
C D F CDF CDF：标准正态分布累积分布函数 |
量化现有库存实际能实现的需求满足概率 | 经验库存目标的服务水平评估，说服决策者采用科学目标 |
公式使用核心说明
μ
\\mu
μ均为需求均值、
σ
\\sigma
σ均为需求标准差），使用时需确保参数单位一致（如时间单位统一为“周”或“天”）。
Z
×
Z \\times
Z× 波动指标”。
通过以上公式汇总，可快速对接各类库存管理场景的量化决策，为库存优化、供应链改进提供统一的计算框架。
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