08：从“电尺寸”说起：理解传输线理论的起点

作者：老张聊电磁兼容

前言

作为一个在电磁兼容领域摸爬滚打十多年的工程师，我计划从今天开始在这里开一个专栏，陆陆续续分享一些这些年的经验，以及我个人对电磁兼容的认知。
需要提前说明的是：错误之处在所难免——或者说必定会存在错误，望见谅。另外，我的某些观点你未必认同，在我看来这再正常不过了，咱们求同存异。
我分享这些内容的初衷是抛砖引玉，更期待能借此找到一些志同道合的同行一起交流探讨。这些年的工作经历让我深切体会到，做EMC这一行少不了与同行的深度切磋交流，切忌闭门造车。
当然，如果我的分享能让你有所收获，那就再好不过了。

以下是正文：

一、波的基础概念

1.1 什么是波？

波是自然界中最普遍的现象之一。简单来说，波是能量或物理量的扰动在空间中逐点传递所形成的运动形式。当某点的物理量（如位移、电场强度等）偏离平衡状态时，该扰动会通过介质或场向相邻区域传播。因此，波的本质是能量传递的载体。

1.2 什么是行波？

行波是波的一种基本传播形式，指波形（能量）在空间中沿一定方向持续向前传播。

行波的主要特征：
行波携带能量并持续向前传播。行波上任意一点的振动状态（如波峰、波谷）会随时间向前或向后移动。整个波形看起来像是在空间中“行走”，因此得名“行波”。在理想无损耗介质中，行波的形状在传播过程中保持恒定。相隔一个波长的两点，相位相差 $2\pi$ 弧度（即 $360^{\circ }$）。

行波的数学描述：
以沿 $x$ 轴正方向传播的一维简谐行波为例，其运动状态 $y$ 是空间位置 $x$ 和时间 $t$ 的函数：$y=f(x,t)$。其表达式为：
$$y(x,t)=A\cos (kx\mp \omega t+\varphi )$$
其中：

• $y(x,t)$ —— 位置 $x$ 处、时间 $t$ 时质点的位移；
• $A$ —— 振幅；
• $k=2\pi /\lambda$ —— 波数（$\lambda$ 为波长）；
• $\omega =2\pi f$ —— 角频率（$f$ 为频率）；
• $\varphi$ —— 初相位。

表达式中的 $(kx\mp \omega t)$ 决定了传播方向：

• $(kx-\omega t)$ 表示波沿 $x$ 轴正方向传播；
• $(kx+\omega t)$ 表示波沿 $x$ 轴负方向传播。
  
  图1

行波的传播速度：
传播速度 $v$ 由介质性质决定，可用频率 $f$ 和波长 $\lambda$ 表示为：
$$v=\frac{\lambda }{T}=\lambda \cdot f=\frac{\omega }{k}$$

生活中常见的行波举例： 水波、声波、电磁波，以及抖动的绳子。

二、传输线的基础：从电尺寸说起

要理解传输线，必须先理解一个核心概念：电尺寸。它是判断何时该用“电路理论”还是“传输线理论”的分界线。

2.1 什么是电尺寸？

电尺寸是描述电磁结构物理尺寸 $L$ 与工作波长 $\lambda$ 之间关系的关键参数，定义为：
$$\text{电尺寸}=\frac{L}{\lambda }$$

• 电小尺寸：当 $L<\lambda /10$ 时，信号经过这段距离的相移很小（$<36^{\circ }$），可忽略不计。此时，我们可以用集总参数电路模型（即普通的电阻、电容、电感）来分析。电磁能量以准静态场分布为主。
• 电大尺寸：当 $L>\lambda /10$ 时，信号沿导线传播会产生显著的相移，必须考虑传播延迟、驻波等效应。此时，必须采用分布参数模型，即传输线理论。

结论：当信号频率足够高（波长足够短）时，即使是几厘米长的铜线也必须用传输线理论来分析。

图2

2.2 什么是传输线？

传输线是指用于定向引导电磁波能量从一点传播至另一点的导波结构。它通常包含两条导体：一条信号路径，一条返回路径。
常见类型：平行双线、双绞线、同轴电缆、微带线、带状线、波导等。

图3

三、传输线方程（电报方程）

这是我们这一部分的核心。我们将基于“电尺寸”的概念，用微元段的方法来推导传输线方程。

3.1 为什么要用微元段？

因为我们要分析的传输线通常是“电大尺寸”的，不能再把它当成一个简单的电阻。但如果我们把整条线切成无数个极小的小段 $\Delta z$，让每一小段都满足“电小尺寸”（$\Delta z<\lambda /10$），那么每一小段就可以用电路理论来分析。

图4

物理图景：
想象整条传输线是由无数个这样的小网络首尾相连构成的。每一小段都由四个基本参数描述：

• $R$：单位长度电阻（$\Omega /\text{m}$）
• $L$：单位长度电感（$\text{H}/\text{m}$）
• $C$：单位长度电容（$\text{F}/\text{m}$）
• $G$：单位长度电导（$\text{S}/\text{m}$）

3.2 电路模型与方程推导

我们把长度微元 $\Delta z$ 的等效电路画出来。这个电路很简单：

• 串联支路上有电阻 $R\Delta z$ 和电感 $L\Delta z$。
• 并联支路上有电导 $G\Delta z$ 和电容 $C\Delta z$。

现在，我们考察这个微元段上的电压和电流关系。为了方便，我们假设输入是角频率为 $\omega$ 的正弦波（即采用频域分析）。这样，电压 $V(z)$ 和电流 $I(z)$ 都成为复有效值。
从微元段的一端 $z$ 到另一端 $z+\Delta z$，电压下降了。下降的原因有两个：

• 一是流过串联阻抗 $(R+j\omega L)\Delta z$ 产生的压降。
• 二是向下一段传输线传递信号产生的变化。

根据电路的基尔霍夫电压定律，可以列举数学方程，整理后即为：
$$\frac{V(z+\Delta z)-V(z)}{\Delta z}=-(R+j\omega L)\cdot I(z)$$

当 $\Delta z\to 0$ 时，左边就是电压对位置的导数。
$$\frac{\text{d}V(z)}{\text{d}z}=-(R+j\omega L)\cdot I(z)$$

物理意义：传输线上某点的电压变化率，与该点的电流成正比。比例系数就是单位长度的串联阻抗。

电流为什么会减少？因为有一部分电流“漏”掉了。漏掉的原因有两个：

• 一是流过并联电导 $G\Delta z$ 的泄漏电流。
• 二是流过并联电容 $C\Delta z$ 的位移电流。

根据基尔霍夫电流定律，可以列举数学方程，整理后即为：
$$\frac{I(z+\Delta z)-I(z)}{\Delta z}=-(G+j\omega C)\cdot V(z)$$

当 $\Delta z\to 0$ 时，左边就是电流对位置的导数。
$$\frac{\text{d}I(z)}{\text{d}z}=-(G+j\omega C)\cdot V(z)$$

物理意义：传输线上某点的电流变化率，与该点的电压成正比。比例系数就是单位长度的并联导纳。

3.3 电报方程

上述两个方程合起来，就是著名的**“电报方程”**！
$$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}V(z)}{\text{d}z}=-(R+j\omega L)\cdot I(z)\\ \frac{\text{d}I(z)}{\text{d}z}=-(G+j\omega C)\cdot V(z)\end{array}$$

这个方程组是传输线理论的核心，它完美地描述了传输线上电压和电流的相互耦合关系。

3.4 波动方程与特征阻抗

通过求解电报方程（具体推导过程详见附录），我们可以得到传输线上的波动方程和特征阻抗。这是两个最关键的结论。

1）波动方程
$$\frac{{\text{d}}^{2}V(z)}{\text{d}{z}^2}-{\gamma }^{2}V(z)=0$$

其中，$\gamma =\alpha +j\beta =\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$ 称为复传播常数。

• $\alpha$：衰减常数，表示波的能量衰减。
• $\beta$：相位常数，表示波的相位变化。

2）特征阻抗
$$Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$$

特征阻抗 $Z_0$ 是传输线的一个本质属性，它只取决于线的几何结构和材料，与线的长度、负载无关。它定义了传输线上行波电压与电流的比值：$Z_0=\frac{V^{(+)}}{I^{(+)}}=-\frac{V^{(-)}}{I^{(-)}}$。

四、特例：无损耗传输线

在实际工程中，很多传输线的损耗很小，我们可以将其近似为无损耗传输线。此时，$R\approx 0$，$G\approx 0$。

无损耗传输线的特征阻抗简化为一个实数：
$$Z_0=\sqrt{\frac{L}{C}}$$

无损耗传输线的波动方程解也相应简化，成为我们最常用的形式：
$$\{\begin{array}{l}V(z)=V_0^{(+)}{e}^{-j\beta z}+V_0^{(-)}{e}^{j\beta z}\\ I(z)=\frac{V_0^{(+)}}{Z_0}{e}^{-j\beta z}-\frac{V_0^{(-)}}{Z_0}{e}^{j\beta z}\end{array}$$

其中，$\beta =\omega \sqrt{LC}$。

五、预告：驻波与阻抗匹配

当传输线上同时存在入射波（$V_0^{(+)}{e}^{-j\beta z}$）和反射波（$V_0^{(-)}{e}^{j\beta z}$）时，它们叠加会形成驻波。
驻波的“站立”特性直接反映了传输线与负载的匹配程度。我们将在第2部分详细讨论：

• 电压反射系数（$\Gamma$）：如何定量描述反射的大小。
• 电压驻波比（$\text{VSWR}$）：如何用驻波来评估匹配质量。
• 输入阻抗（$Z_{\text{in}}$）：如何从负载端反向推算源端看到的阻抗。
• 阻抗匹配：如何消除反射，实现最大功率传输。

附录：电报方程的详细推导

对电报方程中的第一个方程求导：
$$\frac{{\text{d}}^{2}V}{\text{d}{z}^2}=-(R+j\omega L)\cdot \frac{\text{d}I}{\text{d}z}$$

将第二个方程 $\frac{\text{d}I}{\text{d}z}=-(G+j\omega C)V$ 代入上式，得：
$$\frac{{\text{d}}^{2}V}{\text{d}{z}^2}=(R+j\omega L)(G+j\omega C)V$$

令 ${\gamma }^2=(R+j\omega L)(G+j\omega C)$，即得波动方程：
$$\frac{{\text{d}}^{2}V}{\text{d}{z}^2}-{\gamma }^{2}V=0$$

该方程的通解为：
$$V(z)=V_0^{(+)}{e}^{-\gamma z}+V_0^{(-)}{e}^{\gamma z}$$

由电报方程中的第一个方程，有：
$$I(z)=-\frac{1}{R+j\omega L}\cdot \frac{\text{d}V}{\text{d}z}$$

将 $V(z)$ 的通解代入求导：
$$\frac{\text{d}V}{\text{d}z}=-\gamma V_0^{(+)}{e}^{-\gamma z}+\gamma V_0^{(-)}{e}^{\gamma z}$$

于是：
$$I(z)=\frac{\gamma }{R+j\omega L}\left(V_0^{(+)}{e}^{-\gamma z}-V_0^{(-)}{e}^{\gamma z}\right)$$

注意到 $\frac{\gamma }{R+j\omega L}=\sqrt{\frac{G+j\omega C}{R+j\omega L}}=\frac{1}{Z_0}$，因此：
$$I(z)=\frac{V_0^{(+)}}{Z_0}{e}^{-\gamma z}-\frac{V_0^{(-)}}{Z_0}{e}^{\gamma z}$$

至此，我们完整地推导出了传输线波动方程的解和特征阻抗的定义。

预告：第2部分我将介绍驻波、反射系数、阻抗匹配等核心工程应用。请继续关注！