KCC 拥塞控制中 RTT 估计精度对吞吐量与丢包率的定量分析

KCC 拥塞控制中 RTT 估计精度对吞吐量与丢包率的定量分析

——基于 Lumen CMI1（中国香港）至成都移动 AS9808（1000Mbps）链路的实测验证

摘要：KCC 的吞吐性能与丢包率由三元 RTT 分解模型决定。本文证明，当传播延迟估计 ${\hat{T}}_{\mathrm{prop}}$ 逼近物理真值 $T_{\mathrm{prop}}$ 时，队列占用误差 $\Delta q$ 趋于零，吞吐量收敛于链路物理极限，丢包率下降。基于中国香港 Lumen CMI1 至成都移动 AS9808 光纤链路的实测数据，定量验证了 MIN 模式（${\hat{T}}_{\mathrm{prop}}=\min (x_{\mathrm{est}},min\_rtt)$）与 FILTER 模式（${\hat{T}}_{\mathrm{prop}}=x_{\mathrm{est}}$）之间的性能差异，并给出数学证明。

关键词：拥塞控制、RTT 分解、卡尔曼滤波、队列溢出概率、传播延迟估计误差

1 问题陈述

端到端拥塞控制的根本困难在于：发送端仅能观测到标量 ${\mathrm{RTT}}_{\mathrm{obs}}$，却需要从中推断物理传播延迟 $T_{\mathrm{prop}}$。KCC 的三元分解模型将观测方程写为：

$${\mathrm{RTT}}_{\mathrm{obs}}=T_{\mathrm{prop}}+T_{\mathrm{queue}}+T_{\mathrm{noise}}\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $T_{\mathrm{queue}}\ge 0$ 为排队延迟，$T_{\mathrm{noise}}$ 为均值为零的有界噪声。KCC 采用单状态卡尔曼滤波器估计 $T_{\mathrm{prop}}$，其方向性更新规则为：

$${\hat{x}}_{k|k}={\hat{x}}_{k|k-1}+K_k\cdot {\nu }_k\cdot 1({\nu }_k\le 0),{\nu }_k=z_k-{\hat{x}}_{k|k-1}\text{\hspace{1em}(2)}$$

此规则引入系统性保守偏置。根据 KCC 文档 Proof C.1，方向更新是截断卡尔曼滤波器的工程实现，其单步更新误差为：

$$\Vert {\hat{x}}_{\mathrm{dir}}-{\hat{x}}^{\ast }{\Vert }^2=(1-K_k{)}^2\cdot {\nu }_k^2\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 ${\hat{x}}^{\ast }$ 为约束最优解。在本链路参数下 $K_{ss}\approx 0.39$，单步方向更新约为约束最优解的 61%，由此引入对 $T_{\mathrm{prop}}$ 的保守偏置。令真实值为 $T_{\mathrm{prop}}$，两种估计模式分别给出：

$${\hat{T}}_{\mathrm{prop}}^{(\mathrm{FILTER})}=x_{\mathrm{est}},\mathbb{E}[x_{\mathrm{est}}]=T_{\mathrm{prop}}-\delta ,\delta >0\text{\hspace{1em}(4)}$$

$${\hat{T}}_{\mathrm{prop}}^{(\mathrm{MIN})}=\min (x_{\mathrm{est}},min\_rtt),\text{在稳态光纤路径上}min\_rtt\to T_{\mathrm{prop}}\text{\hspace{1em}(5)}$$

δ 的精确表达式为：

$$\delta =K_{ss}\cdot {\sigma }_{\mathrm{noise}}\cdot \sqrt{\frac{2}{\pi }}\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中 $K_{ss}=P_{pred}/(P_{pred}+R)$ 为稳态卡尔曼增益，$P_{pred}=(Q+\sqrt{Q^2+4QR})/2$。本链路实测参数 Q=100、R=400（经 kalman_scale=1024 缩放），代入得 K_ss≈0.39，σ_noise≈0.1ms，δ≈0.031ms。

2 误差传播：从估计误差到队列占用

令瓶颈链路容量为 $C$（bits/s），发送窗口为：

$$\mathrm{cwnd}=\frac{C\cdot {\hat{T}}_{\mathrm{prop}}}{\mathrm{MSS}}\cdot g\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中 $g$ 为当前 pacing gain（BBR 循环中 $g\in \{1.25,0.75,1.0\}$）。式（7）中的 $C$ 为瓶颈带宽估计 $\mathrm{bw}$ 在稳态收敛后的近似值，$\mathrm{bw}\to C$。设估计误差为：

$$\Delta ={\hat{T}}_{\mathrm{prop}}-T_{\mathrm{prop}}\text{\hspace{1em}(8)}$$

由 Lindley 递归，队列字节数的稳态偏移为：

$$q=\max (0,\mathrm{cwnd}\cdot \mathrm{MSS}-C\cdot T_{\mathrm{prop}}+q_{\mathrm{cross}})\text{\hspace{1em}(9)}$$

将 (7) 代入 (9)，得到由估计误差引起的队列偏移：

$$\Delta q=C\cdot \Delta \cdot g\text{\hspace{1em}(10)}$$

物理含义：$\Delta >0$（高估 $T_{\mathrm{prop}}$）产生正向队列偏移；$\Delta <0$（低估）产生负向偏移（欠载）。

对于 FILTER 模式，$\Delta =-\delta <0$，则：

$$\Delta q_{\mathrm{FILTER}}=-C\cdot \delta \cdot g<0\text{\hspace{1em}(11)}$$

即管道持续处于欠载状态，欠载量为 $C\cdot \delta \cdot g$ bits。

对于 MIN 模式，在稳态光纤路径上 $min\_rtt\to T_{\mathrm{prop}}$，故 $\Delta \to 0$，$\Delta q_{\mathrm{MIN}}\to 0$。

3 丢包率：AND-gate 计时器约束下的排空深度差异

设瓶颈交换机缓冲区大小为 $B$（bits）。丢包事件发生于瞬时队列 $q(t)>B$。将 $q(t)$ 分解为：

$$q(t)=\bar{q}+\epsilon (t)+\varphi (t)\text{\hspace{1em}(12)}$$

其中 $\bar{q}$ 为时间平均队列，$\epsilon (t)$ 为随机噪声分量，$\varphi (t)$ 为 BBR 8 相位周期调制引入的确定性振荡分量。

KCC DRAIN 退出条件的精确表述（参见 KCC 文档 Lemma Q.1-Q.2 及 DRAIN → PROBE_BW 转移条件）：

DRAIN 阶段以 pacing_gain = g_drain ≈ 0.75 运行，队列动力学满足：

$$\frac{dq}{dt}=(g_{\mathrm{drain}}-1)\cdot C=-0.25\cdot C<0\text{\hspace{1em}(13)}$$

队列严格单调递减。DRAIN 退出的判定条件为 AND-gate：

$$inflight\_at\_EDT\le \mathrm{BDP}(g=1.0)\text{AND}\text{timer}\ge 1\mathrm{RTT}\text{\hspace{1em}(14)}$$

其中 $\mathrm{BDP}(g=1.0)=C\cdot {\hat{T}}_{\mathrm{prop}}/\mathrm{MSS}$。存在 4-RTT 安全超时作为兜底。

AND-gate 的存在意味着：即使 inflight 条件在 1 RTT 之前就已满足，DRAIN 也不会立即退出，而是继续运行直到计时器到期。这引入了计时器约束下的强制排空。

关键观测如下。

MIN 模式（Δ≈0）：$\mathrm{BD}{\mathrm{P}}_{\mathrm{target}}=C\cdot T_{\mathrm{prop}}/\mathrm{MSS}$。在低负载路径上，inflight 可能在 1 RTT 计时器到期前就已降至 BDP_target 以下。由于 AND-gate 的计时器约束，DRAIN 将持续至计时器到期，期间 inflight 继续下降，产生约 $(1-g_{\mathrm{drain}})\cdot C\cdot T_{\mathrm{remaining}}$ 的轻度过度排空。DRAIN 退出时 inflight 略低于真实 BDP。

FILTER 模式（Δ=-δ）：$\mathrm{BD}{\mathrm{P}}_{\mathrm{target}}=C\cdot (T_{\mathrm{prop}}-\delta )/\mathrm{MSS}$，比 MIN 模式的目标值小 $C\cdot \delta /\mathrm{MSS}$。在相同的 AND-gate 计时器约束下，FILTER 模式的 inflight 目标值更低，因此计时器到期时的 inflight 绝对值比 MIN 模式更小，欠载深度增加约 $C\cdot \delta$ bits。

核心差异：两种模式都受 AND-gate 计时器约束，都会经历一定程度的过度排空——即 DRAIN 退出时 inflight 低于真实 BDP 的幅度。但 FILTER 模式因 BDP 目标值偏小 δ，其 DRAIN 退出时的 inflight 比 MIN 模式更低，管道欠载更深。进入 PROBE 阶段后，pacing_gain 从 0.75 瞬间跳变至 1.25，发送速率瞬时增加约 67%。由于 FILTER 模式的 inflight 基线更低，这种速率跳变在 inflight 曲线上表现为一个更陡峭的前沿，inflight 恢复至真实 BDP 的行程更长、上升斜率更陡，从而增加了瞬时队列超过缓冲区 $B$ 的概率，形成微突发丢包。

“过度排空”定义：指 DRAIN 退出时 inflight 低于真实 BDP 的幅度。由于 AND-gate 计时器约束，两种模式均会发生过度排空，但 FILTER 模式的过度排空深度比 MIN 模式大约 $C\cdot \delta$ bits。

因此，FILTER 模式丢包率更高的直接原因是：BDP 目标值偏小 → 在 AND-gate 计时器约束下，DRAIN 退出时 inflight 的绝对值比 MIN 模式更低 → 管道欠载更深 → PROBE 阶段 pacing_gain 跳变从更低基线出发，inflight 恢复行程更长、上升斜率更陡 → 微突发丢包风险增大。

由于丢包由 PROBE 阶段的瞬时队列峰值触发，而非围绕均值的稳态波动，单包丢包率近似正比于 PROBE 阶段峰值队列超过缓冲区 $B$ 的频率。该频率随 $|\Delta |$ 单调递增。指数律 $P_{\mathrm{drop}}\propto \exp (-(B-q_0-C\Delta g{)}^2/(2{\sigma }_q^2))$ 仅作为定性趋势示意，用于描述 ${\sigma }_q$ 随 $|\Delta |$ 增大的方向性关系；实际丢包率受 BBR 8 相位周期调制，数值上受缓冲区吸收能力和重传平滑效应限制。

根据 KCC 文档 Lemma Q.2，在每个 8 相位 PROBE_BW 周期内，DRAIN 阶段保证队列排空（q→0），因此 clean sample 的产生频率由控制器设计保证，不依赖外部流量假设。FILTER 模式因 DRAIN 过度排空更深，其排空更充分，但代价是 PROBE 阶段的 inflight 恢复斜率更陡。

4 吞吐量效率：偏置的双重效应与四源损失模型

偏置 $\delta$ 具有双重效应：在稳态 CRUISE 阶段，它使 BDP 被系统性低估约 $\delta /T_{\mathrm{prop}}\approx 0.10\%$，造成轻微的吞吐量损失；而在 DRAIN→PROBE 瞬态转换中，它通过 AND-gate 计时器约束下的更深排空，将这一微小偏置放大为可观的丢包率恶化与循环占空比损失。

吞吐量的时间平均值为：

$$\bar{T}=\frac{1}{T}{\int }_0^T\min \left(C,\frac{\mathrm{cwnd}(t)}{\mathrm{RTT}(t)}\right)dt\text{\hspace{1em}(15)}$$

本链路 MIN 模式与 FILTER 模式的吞吐量差为 83.6 Mbps（552.3 – 468.7 = 83.6），相对差 15.1%。此差值由以下四部分组成：

(a) Mills 偏置的直接 BDP 损失：$\delta /T_{\mathrm{prop}}\approx 0.031/30\approx 0.10\%$，对应约 0.5 Mbps。乘以 g=1.25 的探测增益放大后，约为 0.13%，对应约 0.7 Mbps。此为偏置的平均效应。

(b) 增益衰减的提前触发：KCC 的增益衰减机制由 qdelay 超过 kcc_qdelay_cong_bp（默认 25% of min_rtt）触发。本链路 min_rtt≈30ms，cong_thresh≈7.5ms。当 ${\hat{T}}_{\mathrm{prop}}=T_{\mathrm{prop}}-\delta$ 时，qdelay 计算值被系统性抬高 δ≈0.031ms，占阈值 7.5ms 的 0.41%。此偏差虽小，但足以使增益衰减的触发相位提前，实测增益衰减有效时间占比从 MIN 的 18% 升至 FILTER 的 26%，对应吞吐损失约 5-8%。

© 探测期微突发丢包损耗：FILTER 模式 0.087% 的丢包率对应约 4,822 个 RETR 事件（300s 测试，平均 MSS≈1400B，总包数约 1.5×10⁷）。每次 RETR 触发 cwnd 减半（BBR 减半策略），恢复时间约为 RTT × log₂(当前 cwnd/目标 cwnd)。微突发引起的连续丢包可造成约 2-3% 的有效吞吐损耗。此为偏置的瞬态效应在丢包维度的体现。

(d) 循环占空比畸变：两种模式均受 DRAIN 退出 AND-gate 的计时器约束（至少 1 RTT），因此 DRAIN 持续时间在两种模式下近似相等。差异在于：FILTER 模式因 BDP 目标值更低，在相同 DRAIN 持续时间内 inflight 被压至更低的绝对值。DRAIN 退出后的 CRUISE 初期，inflight 从更低的基线恢复至真实 BDP 的过程消耗更多有效发送时间，等效损失约 0.15 个 RTT，使有效发送占空比从设计值 7/8 降至约 6.85/8，损失约 4-6%。此为偏置的瞬态效应在占空比维度的体现。

四源累加：0.1% + 5-8% + 2-3% + 4-6% = 11-17%，与实测 15.1% 吻合。

5 实测数据与定量拟合

测试环境：

实测结果：

丢包率定义为 RETR_total / (delivered + RETR_total)，反映总发送包中丢失并重传的比例。丢包率的 95% 置信区间基于五次独立实验的均值计算（MIN: 0.010%-0.014%，FILTER: 0.079%-0.095%，BBR-pure: 0.19%-0.23%）。

关于 MIN 模式 0.012% 的丢包率：光纤链路原生误码率通常在 10⁻⁹ 至 10⁻¹² 量级，0.012% 对应路径底层丢包底噪。可能来源包括：国际链路中间节点的随机早期丢包、运营商 QoS 策略的微突发限速、成都移动侧 AS9808 家庭宽带的缓冲策略及背景流量冲突。0.012% 是 MIN 模式在此特定路径上能达到的丢包率下界。

6 适用边界与模式选择

上述结论依赖一个关键前提：min_rtt 能真实反映 $T_{\mathrm{prop}}$。根据 KCC 文档 Lemma Q.2，在每个 PROBE_BW 的 DRAIN 阶段，队列严格单调递减并最终排空，因此每个 8 相位周期内至少产生一个 T_queue = 0 的 clean sample。这为 MIN 模式的 min_rtt → T_prop 提供了闭环控制层面的保证，而非对路径外部条件的假设。该前提成立的条件为：

$$\exists t\in [0,W]\text{s.t.}{T}_{\mathrm{queue}}(t)=0\text{\hspace{1em}(16)}$$

其中 $W=10\mathrm{s}$ 为 min_rtt 观测窗口。在有线光纤稳态路径上，当且仅当链路负载 $\rho <1$ 且存在空闲周期时，(16) 成立。本测试线路在测试期间负载约 60-70%，满足条件。

当 (16) 不成立时（持续高压、移动网络、噪声注入），MIN 模式的 min_rtt 被污染，$\Delta >0$，性能退化为 BBR-pure 甚至更差。此时 FILTER 模式因卡尔曼的统计抗污染能力成为更优解。

根据 KCC 文档 Lemma O.3，卡尔曼收敛的内生判定准则为：

$$K_k=\frac{P_{pred}}{P_{pred}+R}\le K_{\mathrm{thresh}}\text{\hspace{1em}(17)}$$

当 $K_k\le 1\mathrm{ppm}$ 时，滤波器实际已退化至常数预测器，此时 $x_{\mathrm{est}}$ 与 $min\_rtt$ 的差异仅剩 Mills 偏置 δ。因此 MIN 模式在稳态下等价于 FILTER 模式——δ 是两者间唯一的系统性偏差来源。换言之，MIN 模式通过 min_rtt 的瞬时响应，在路径变化时“免费”获得了 x_est 尚未收敛到位的准确性增益；而在稳态下，它并不提供超越 FILTER 的额外保守性。MIN 模式的优势窗口仅限于路径变化瞬间。

实际网络中，(16) 是概率性事件。设 p_empty 为 10s 窗口内 T_queue=0 的样本比例。决策准则为：

$$\text{模式选择}=\{\begin{array}{ll}\text{MIN},& p_{\text{empty}}\to 1\\ \text{FILTER},& p_{\text{empty}}\lesssim 0.3\end{array}\text{\hspace{1em}(18)}$$

不存在绝对的分界线；过渡区域需根据具体链路的排空频率进行实测评估。此即 KCC 不将 MIN 设为默认的数学根源——FILTER 模式的统计平滑机制在 p_empty 不确定时提供更高的鲁棒性。

7 结论

8 未来工作

本文的分析依赖于光纤链路的低抖动特性（${\sigma }_{\mathrm{noise}}\approx 0.1\mathrm{ms}$）。随着 ${\sigma }_{\mathrm{noise}}$ 增大（如 Wi-Fi、蜂窝网络），式 (6) 给出的 δ 将线性增长，FILTER 模式的保守偏置会相应放大。高抖动路径上，MIN 模式因 $min\_rtt$ 可能捕获噪声谷值而面临新的风险，FILTER 模式的统计抗污染优势将更加突出。一个有趣的开放问题是，是否存在一个关于 ${\sigma }_{\mathrm{noise}}$ 的临界点，使得 MIN 和 FILTER 模式的性能曲线发生交叉，从而为自适应模式切换提供理论依据。

参考文献

[1] Kalman, R. E., “A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems,” ASME J. Basic Eng., 82:35–45, 1960.

[2] Cardwell, N. et al., “BBR: Congestion-Based Congestion Control,” ACM Queue, 14(5):20–53, 2016.

[3] KCC 技术文档：TCP KCC v1.0, §RTT 分解、§模型 RTT 策略、Proof C.1、Lemma O.3、Lemma Q.1-Q.2.

[4] Mills, J. P., “Table of the Ratio: Area to Bounding Ordinate,” Biometrika, 18(3/4):395–400, 1926.

[5] Lindley, D. V., “The Theory of Queues with a Single Server,” Proc. Cambridge Philos. Soc., 48:277–289, 1952.

附图（YT）

图一

图二