统计学学习教程，从入门到精通，数据的概括性度量

数据的概括性度量 — 知识点总结

一、集中趋势的度量

集中趋势（Central Tendency）是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，反映数据的一般水平。

1. 算术平均数（Mean）

（1）简单算术平均数

适用于未分组的原始数据。

$xˉ=∑i=1nxin=x1+x2+⋯+xnn\\bar{x} = \\frac{\\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} = \\frac{x_1 + x_2 + \\cdots + x_n}{n}$

性质：

各数据与平均数的离差之和等于零： $∑(xi−xˉ)=0\\sum(x_i – \\bar{x}) = 0$
各数据与平均数的离差平方和最小： $∑(xi−xˉ)2=min⁡\\sum(x_i – \\bar{x})^2 = \\min$
每个数据同时加上（或减去）一个常数 $a$ ，平均数也增加（或减少） $a$
每个数据同时乘以（或除以）一个常数 $b$ ，平均数也乘以（或除以） $b$

（2）加权算术平均数

适用于已分组数据（频数分布表）。

$xˉ=∑i=1kxifi∑i=1kfi\\bar{x} = \\frac{\\sum_{i=1}^{k} x_i f_i}{\\sum_{i=1}^{k} f_i}$

其中： $x_i$ 为各组的组中值， $f_i$ 为各组频数（权数）， $k$ 为组数。

注意事项：

权数可以是频数（绝对权数），也可以是频率（相对权数）
当各组频数相等时，加权平均数等于简单平均数
开口组的组中值需合理估计

（3）算术平均数的优缺点

优点缺点

充分利用所有数据信息	易受极端值（离群值）影响
数学性质优良，便于代数运算	数据偏态严重时代表性差
最常用的集中趋势指标	不适合开口组数据的计算

2. 中位数（Median）

将数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数值，记为 $M_e$ 。

（1）原始数据（未分组）

$为偶数M_e = \\begin{cases} x_{\\frac{n+1}{2}} & \\text{当 } n \\text{ 为奇数} \\\\ \\frac{1}{2}\\left(x_{\\frac{n}{2}} + x_{\\frac{n}{2}+1}\\right) & \\text{当 } n \\text{ 为偶数} \\end{cases}$

（2）分组数据

$Me=L+∑fi2−Sm−1fm×dM_e = L + \\frac{\\frac{\\sum f_i}{2} – S_{m-1}}{f_m} \\times d$

其中：

$L$ ：中位数所在组的下限
$∑fi\\sum f_i$ ：总频数
$S_{m-1}$ ：中位数所在组以前各组的累计频数
$f_m$ ：中位数所在组的频数
$d$ ：中位数所在组的组距

（3）中位数的优缺点

优点缺点

不受极端值影响，稳健	未充分利用所有数据信息
适合开口组数据	不便于代数运算
适合偏态分布	对样本波动不敏感

3. 众数（Mode）

一组数据中出现次数最多的数值，记为 $M_o$ 。

分组数据的众数（皮尔逊经验公式）

$Mo=L+fm−fm−1(fm−fm−1)+(fm−fm+1)×dM_o = L + \\frac{f_m – f_{m-1}}{(f_m – f_{m-1}) + (f_m – f_{m+1})} \\times d$

其中：

$L$ ：众数所在组下限
$f_m$ ：众数所在组频数
$f_{m-1}$ ：众数所在前一组的频数
$f_{m+1}$ ：众数所在后一组的频数
$d$ ：组距

特点：

可能不存在（无重复值时），也可能有多个众数
不受极端值影响
适合于描述定性数据的集中趋势

4. 三种集中趋势指标的关系

经验关系（适度偏态下）：

$Mo≈3Me−2xˉM_o \\approx 3M_e – 2\\bar{x}$

即（皮尔逊经验法则）：

分布类型关系

对称分布	$xˉ=Me=Mo\\bar{x} = M_e = M_o$
右偏（正偏）分布	$xˉ>Me>Mo\\bar{x} > M_e > M_o$
左偏（负偏）分布	$xˉ<Me<Mo\\bar{x} < M_e < M_o$

5. 其他位置指标

（1）四分位数

将数据四等分的三个点，记为 $Q_1$ 、 $Q_2$ （即中位数）、 $Q_3$ 。

$Q_1$ （下四分位数）：第25百分位数
$Q_3$ （上四分位数）：第75百分位数

（2）百分位数

将数据分为100等分的99个点。第 $p$ 百分位数的计算：

$Pp=L+p⋅n100−Sp−1fp×dP_p = L + \\frac{\\frac{p \\cdot n}{100} – S_{p-1}}{f_p} \\times d$

（3）几何平均数

适用于比率数据或等比变化的数据。

$\\sqrt[n]{x_1 \\cdot x_2 \\cdot \\cdots \\cdot x_n}$

常用场景：平均增长率、平均发展速度。

对数形式： $ln⁡G=1n∑ln⁡xi\\ln G = \\frac{1}{n}\\sum \\ln x_i$

（4）切尾均数（截尾均数）

去掉数据两端一定比例后计算的算术平均数，兼具均数和中位数的优点。

二、离散程度的度量

离散程度（Dispersion）反映数据之间的差异程度或离散水平。集中趋势相同的两组数据，离散程度可能大不相同。

1. 极差（Range）

$R = x_{\\max} – x_{\\min}$

特点：

计算简单，但只利用了最大值和最小值两个数据
对极端值非常敏感
受样本量影响，样本越大极差越大

2. 四分位差（Interquartile Range, IQR）

$IQR = Q_3 – Q_1$

反映中间50%数据的离散程度，不受极端值影响。

3. 平均差（Mean Absolute Deviation）

$\\frac{\\sum_{i=1}^{n} |x_i – \\bar{x}|}{n}$

分组数据（加权形式）：

$\\frac{\\sum_{i=1}^{k} |x_i – \\bar{x}| \\cdot f_i}{\\sum f_i}$

特点：

充分利用所有数据
绝对值运算不便于代数处理，实际应用较少

4. 方差与标准差（Variance & Standard Deviation）

（1）总体方差与标准差

$σ2=∑i=1N(Xi−μ)2N\\sigma^2 = \\frac{\\sum_{i=1}^{N}(X_i – \\mu)^2}{N}$

$σ=σ2\\sigma = \\sqrt{\\sigma^2}$

（2）样本方差与标准差

$s2=∑i=1n(xi−xˉ)2n−1s^2 = \\frac{\\sum_{i=1}^{n}(x_i – \\bar{x})^2}{n – 1}$

$\\sqrt{s^2}$

注意：样本方差分母用 $n - 1$ （自由度），称为无偏估计。

（3）分组数据的方差

$s2=∑i=1k(xi−xˉ)2fi∑fi−1s^2 = \\frac{\\sum_{i=1}^{k}(x_i – \\bar{x})^2 f_i}{\\sum f_i – 1}$

（4）计算方差的简便公式

$s2=n∑xi2−(∑xi)2n(n−1)s^2 = \\frac{n\\sum x_i^2 – (\\sum x_i)^2}{n(n-1)}$

（5）方差的可加性

若变量 $X$ 、 $Y$ 独立，则： $D (X + Y) = D (X) + D (Y)$

（6）标准差的性质

与原数据具有相同的量纲
标准差越小，数据越集中；标准差越大，数据越分散
数据同时加上常数 $a$ ，标准差不变
数据同时乘以常数 $b$ ，标准差乘以 $∣ b ∣$

5. 变异系数（离散系数，Coefficient of Variation）

用于比较不同量纲或不同均值水平的两组数据的离散程度。

$\\frac{s}{\\bar{x}} \\times 100\\%$

应用场景：

比较不同单位的数据（如身高与体重的变异程度）
比较均值水平差异悬殊的数据
变异系数越大，相对离散程度越大

6. 标准分数（Z-Score）

$zi=xi−xˉsz_i = \\frac{x_i – \\bar{x}}{s}$

含义：表示某数据点偏离均值多少个标准差。

性质：

标准分数的均值为0，标准差为1
用于判断数据是否为异常值（一般 $∣ z ∣ > 3$ 考虑为异常值）
可用于不同量纲数据的标准化比较

7. 各离散程度指标的比较

指标是否利用全部信息受极端值影响数学处理便利性适用场景

极差	否	大	好	粗略了解离散程度
四分位差	否	小	较好	偏态分布
平均差	是	中	差（含绝对值）	教学演示
方差/标准差	是	较大	好	最常用
变异系数	是	较大	好	不同总体间比较

三、偏态与峰态的度量

1. 偏态及其测度

（1）偏态的概念

偏态（Skewness）描述数据分布的不对称程度。

类型特征尾部方向集中趋势关系

对称分布	左右对称	无	$xˉ=Me=Mo\\bar{x} = M_e = M_o$
右偏（正偏）	右尾较长	右	$xˉ>Me>Mo\\bar{x} > M_e > M_o$
左偏（负偏）	左尾较长	左	$xˉ<Me<Mo\\bar{x} < M_e < M_o$

（2）偏态系数（SK）

矩法偏态系数：

$\\frac{n}{(n-1)(n-2)} \\sum\\left(\\frac{x_i – \\bar{x}}{s}\\right)^3$

简化近似公式：

$\\frac{\\sum(x_i – \\bar{x})^3 / n}{s^3}$

判断标准：

$S K = 0$ ：对称分布
$S K > 0$ ：右偏（正偏）分布
$S K < 0$ ：左偏（负偏）分布
$∣ S K ∣$ 越大，偏斜程度越大

（3）皮尔逊偏态系数

$\\frac{3(\\bar{x} – M_e)}{s}$

或

$\\frac{\\bar{x} – M_o}{s}$

2. 峰态及其测度

（1）峰态的概念

峰态（Kurtosis）描述数据分布的尖锐程度或平坦程度，即分布尾部的厚薄。

以正态分布为基准进行比较。

（2）峰态系数（K）

$\\frac{\\sum(x_i – \\bar{x})^4 / n}{s^4} – 3$

（减去3是为了使正态分布的峰态系数为0，称为超额峰态系数）

判断标准：

峰态系数分布类型特征

$K = 0$	正态峰（正态分布）	标准形态
$K > 0$	尖峰分布（Leptokurtic）	尾部更厚，数据更集中于均值附近
$K < 0$	平峰分布（Platykurtic）	尾部更薄，数据更分散

3. 偏态与峰态的实际意义

偏态系数帮助判断数据分布的对称性，为选择均值还是中位数作为代表性指标提供依据
峰态系数在金融风险管理中尤为重要——尖峰分布意味着极端事件（如"黑天鹅"）发生的概率高于正态分布的预期
二者结合可全面描述数据分布形态，判断其与正态分布的偏离程度

四、综合要点与易错点

1. 指标选用原则

数据类型集中趋势指标离散程度指标

定类数据	众数	—
定序数据	中位数、众数	四分位差
定距/定比数据（对称）	均值	方差/标准差
定距/定比数据（偏态）	中位数	四分位差

2. 关键易错点

样本方差分母是

n - 1

，不是

n

——这是为了保证无偏性

变异系数没有单位，是一个相对数

偏态系数的正负与直观判断可能相反：右偏（正偏）时，

S K > 0

，但"正偏"指的是右侧尾部较长（即数据主体集中在左侧，尾部拖向右侧/正值方向）

几何平均数要求所有数据为正数，且当有一个数据为0时，几何平均数为0

分组数据计算的统计量只是近似值，因为使用组中值代替了原始数据

3. 公式速查表

统计量未分组公式分组公式

均值	$xˉ=∑xin\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i}{n}$	$xˉ=∑xifi∑fi\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i f_i}{\\sum f_i}$
方差	$s2=∑(xi−xˉ)2n−1s^2 = \\frac{\\sum(x_i-\\bar{x})^2}{n-1}$	$s2=∑(xi−xˉ)2fi∑fi−1s^2 = \\frac{\\sum(x_i-\\bar{x})^2 f_i}{\\sum f_i – 1}$
标准差	$\\sqrt{s^2}$	$\\sqrt{s^2}$
变异系数	$\\frac{s}{\\bar{x}} \\times 100\\%$	同左
偏态系数	$\\frac{\\sum z_i^3}{n}$	$\\frac{\\sum z_i^3 f_i}{\\sum f_i}$
峰态系数	$\\frac{\\sum z_i^4}{n} – 3$	$\\frac{\\sum z_i^4 f_i}{\\sum f_i} – 3$

（其中 $zi=xi−xˉsz_i = \\frac{x_i – \\bar{x}}{s}$ 为标准分数）

本章核心思想：集中趋势告诉我们数据"在哪里"，离散程度告诉我们数据"散多开"，偏态与峰态告诉我们数据"长什么样"。三者结合，才能完整地概括一组数据的基本特征。