软考软件设计师/系统架构设计师必考：关系代数（并、交、差、笛卡尔积、选择、投影、连接、除）最全详解

目标：一文彻底掌握软考上午题中“关系代数”所有高频考点。包含并、交、差、笛卡尔积、选择、投影、连接、除八大运算的符号、定义、适用条件、计算方法与典型例题。配学生选课实例和软考风格练习题，看完这篇，无需再翻其他资料。

一、关系代数概述

关系代数是一种过程化查询语言，以关系为运算对象，通过对关系进行一系列运算得到查询结果。关系代数是SQL语言的理论基础，也是软考数据库部分必考内容。

1. 运算分类

• 基本运算：并、差、笛卡尔积、选择、投影。
• 导出运算：交、连接、除，可由基本运算组合得到。

2. 并相容性

并、交、差运算要求两个关系满足并相容：

• 具有相同的属性个数（元数相同）。
• 对应属性的域相同（或可兼容）。

3. 常用符号

二、并、交、差

1. 并（Union）

定义：R ∪ S = { t | t ∈ R 或 t ∈ S }
要求：R和S并相容。
结果：包含R和S中的所有元组，重复元组只保留一个。

示例：

R(A,B): (1,2), (2,3), (3,4)
S(A,B): (1,2), (2,3), (4,5)

R ∪ S = (1,2), (2,3), (3,4), (4,5)

2. 交（Intersection）

定义：R ∩ S = { t | t ∈ R 且 t ∈ S }
要求：R和S并相容。
结果：同时出现在R和S中的元组。

示例：

R ∩ S = (1,2), (2,3)

3. 差（Difference）

定义：R − S = { t | t ∈ R 且 t ∉ S }
要求：R和S并相容。
结果：在R中出现但不在S中出现的元组。

示例：

R − S = (3,4)
S − R = (4,5)

软考常考：并、交、差要求并相容；差运算不满足交换律。

三、笛卡尔积（Cartesian Product）

定义：R × S = { t_R t_S | t_R ∈ R 且 t_S ∈ S }
结果属性：R的属性 + S的属性（若属性名冲突，需加前缀区分）。
结果元组数：|R| × |S|。

示例：

R(A,B): (1,2), (2,3)
S(C,D): (5,6), (7,8)

R × S 结果属性为 (A,B,C,D)，共4个元组：
(1,2,5,6)
(1,2,7,8)
(2,3,5,6)
(2,3,7,8)

软考常考：笛卡尔积结果元组数等于两个关系元组数之积；结果属性为两个关系属性之和。

四、选择与投影

1. 选择（Selection）

定义：σ_条件® = { t | t ∈ R 且 t 满足条件 }
作用：从关系中筛选出满足条件的行（元组）。
条件：可用 =、≠、<、≤、>、≥ 及逻辑运算符 ∧、∨、¬。

示例：

R(A,B): (1,2), (2,3), (3,4)

σ_{A>1}(R) = (2,3), (3,4)
σ_{A=2 ∧ B=3}(R) = (2,3)

2. 投影（Projection）

定义：π_属性列表® = { t[属性列表] | t ∈ R }
作用：从关系中选出指定的列，并去除重复元组。

示例：

R(A,B): (1,2), (2,3), (3,4), (4,3)

π_A(R) = (1), (2), (3), (4)
π_B(R) = (2), (3), (4)

软考常考：选择是行运算，投影是列运算；投影结果自动去重。

五、连接（Join）

连接是将两个关系的元组按一定条件拼接成新元组。

1. θ连接（Theta Join）

定义：R ⋈_{条件} S = σ_{条件}(R × S)
条件：可以是 =、<、> 等比较运算。
结果：先做笛卡尔积，再按条件筛选。

示例：

R(A,B): (1,2), (2,3)
S(B,C): (2,5), (3,6), (4,7)

R ⋈_{R.B < S.B} S 结果属性 (A,B,B,C)，满足条件的元组：
(1,2,3,6) // 2<3
(1,2,4,7) // 2<4
(2,3,4,7) // 3<4

2. 等值连接（Equi-Join）

定义：θ连接中条件为等号的情况。
示例：R ⋈_{R.B=S.B} S
结果保留两个B列。

3. 自然连接（Natural Join）

定义：R ⋈ S，按两个关系中所有同名属性进行等值连接，并去掉重复属性列。
要求：两个关系有同名属性。
示例：

R(A,B): (1,2), (2,3), (3,4)
S(B,C): (2,5), (3,6), (4,7)

R ⋈ S = (1,2,5), (2,3,6), (3,4,7)

结果属性为 (A,B,C)，B列只保留一个。

4. 连接类型对比

软考常考：自然连接与等值连接的区别；自然连接结果属性数 = R属性数 + S属性数 − 同名属性数。

六、除（Division）

定义：R(X,Y) ÷ S(Y) = { x | 对所有 y ∈ S，都有 (x,y) ∈ R }
结果属性：X（即R中除去S属性后的属性）。
用途：解决“包含所有”“选修了全部课程”等查询。

示例：

R(A,B): (1,2), (1,3), (2,3), (3,2), (3,3)
S(B): (2), (3)

R ÷ S = (1), (3)

解释：A=1 对应 B=2,3，包含S中所有B；A=3 对应 B=2,3，也包含；A=2 只对应 B=3，不包含B=2，所以排除。

软考常考：除法用于“全部”“所有”语义；结果属性为R属性减去S属性。

七、综合例题

例题1：学生选课数据库

设：

• 学生 S(学号, 姓名, 性别, 年龄)
• 课程 C(课程号, 课程名, 学分)
• 选课 SC(学号, 课程号, 成绩)

查询1：查询选修了“数据库”课程的学生姓名。

π_{姓名}(σ_{课程名='数据库'}(S ⋈ SC ⋈ C))

或：

π_{姓名}(S ⋈ SC ⋈ σ_{课程名='数据库'}(C))

查询2：查询选修了全部课程的学生学号。

π_{学号,课程号}(SC) ÷ π_{课程号}(C)

查询3：查询至少选修了课程号为“C01”和“C02”的学生学号。

π_{学号}(σ_{课程号='C01'}(SC)) ∩ π_{学号}(σ_{课程号='C02'}(SC))

例题2：计算关系代数表达式

给定：

R(A,B): (1,2), (2,3), (3,4)
S(B,C): (2,5), (3,6), (4,7)

求：

八、软考常见题型与技巧

题型一：判断表达式含义

例题：表达式 π_{学号}(σ_{成绩>90}(SC)) 的含义是（ ）。
A. 查询成绩大于90的学生学号
B. 查询所有学生学号
C. 查询成绩大于90的课程号
D. 查询选修了课程的学生学号
答案：A

题型二：根据需求写关系代数

例题：查询没有选修任何课程的学生学号。

π_{学号}(S) − π_{学号}(SC)

题型三：计算表达式结果

例题：R(A,B): (1,2),(2,3),(3,4)；S(B,C): (2,5),(3,6)。求 R ⋈ S。
答案：(1,2,5),(2,3,6)

题型四：除法应用

例题：查询选修了全部课程的学生姓名。

π_{姓名}(S ⋈ (π_{学号,课程号}(SC) ÷ π_{课程号}(C)))

九、易错点与注意事项

十、总结与速记

速记1：八大运算

速记2：核心区别

• 选择行，投影列。
• 自然连接去重列，等值连接不去。
• 除法对应“全部”“所有”。
• 并交差要并相容。

速记3：常用表达式

• 没有选修任何课程：π_{学号}(S) − π_{学号}(SC)
• 选修了全部课程：π_{学号,课程号}(SC) ÷ π_{课程号}©
• 选修了“数据库”的学生姓名：π_{姓名}(S ⋈ SC ⋈ σ_{课程名=‘数据库’}©)

掌握以上内容，配合历年真题练习，关系代数部分即可轻松得分。建议重点练习根据需求写关系代数表达式、自然连接结果计算和除法应用。

发布日期：2026-09-23
下期预告：数据库系统——SQL语言（DDL、DML、DCL、查询），敬请关注。